例 4.1
某厂家生产的挂面包装上写明 “ 净含量 450 克 ” 。在用天平称量了商场中的 48 包挂面之后，得到样本量为 48 的关于挂面重量（单位：克）的一个样本，利用计算机，可以很容易地得到挂面重量的样本均值、总体均值的置信区间等等。下面是 SPSS 的输出。 数据挖掘实验室
用 SPSS 处理数据：
SPSS 数据 noodle.sav 数据挖掘实验室
Spss 选项： 数据挖掘实验室
Analyze-Descriptive Statistics-Explore ， 数据挖掘实验室
再选中 x 1 和 x 2 到 Dependent List ；
然后在 Statistics 中选中 Descriptives ，选置信度（默认值是 95% ）； 数据挖掘研究院
然后选择 Continue-OK 。
Spss 输出结果汇总 数据挖掘研究院
表 4.1 SPSS 一个总体参数估计输出结果 数据挖掘研究院
我们不仅可以构造一个总体均值（或比例）的置信区间，还可以构造两个总体的均值（或比例）之差的置信区间。 数据挖掘研究院
比如我们想知道两个地区学生成绩的差异，可以构造两个地区成绩均值之差 
的置信区间。
如果我们想要比较一个候选人在不同阶段支持率的差异，那就可以构造两个比例之差 
的置信区间等。下面再看一个例子。
例 4.2
有两个地区大学生的高度数据（ SPSS 数据 height2.sav 或 height21.sav ）；在 height2.sav 数据中这两个地区学生的高度分别用变量 x 1 和 x 2 表示。而在 height21.sav 数据中，它们为一个变量 height ，但用另一个变量 group 来标明它们属于哪个地区。
(a) 我们想要分别得到这两个总体均值、标准差的点估计（即样本均值和样本标准差）和各自均值的 95% 置信区间。 数据挖掘研究院
(b) 求两个均值差 的点估计和 95% 置信区间。 数据挖掘研究院
(a) 的 Spss 选项与前例相同，结果输出如下：
表 4.2 SPSS 输出结果 数据挖掘研究院
(b) Analyze-Compare Means-Independent Samples T Test ， 数据挖掘研究院
Spss 选项： 数据挖掘实验室
在 Test Variables 选入 height ，再在 Grouping Variable 选 group, 在 Define Groups 输入 1 和 2 ；在 Options 选置信度（默认值就是 95% ）。 数据挖掘研究院
然后 Continue-OK 。 数据挖掘研究院
Spss 输出结果
两个均值差 的：
Mean Difference=4.960 数据挖掘研究院
Std. Error Difference.=1.455 数据挖掘研究院
95%Confindence Internal of the Difference: 数据挖掘研究院
Lower=2.0732 数据挖掘研究院
Upper=7.8467
4 ．关于置信区间的注意点 数据挖掘研究院
常识告诉我们，来自现实世界的数据量越大，我们对现实世界的了解就越准确。 数据挖掘研究院
样本量对置信区间有很大的影响。理想的情况是获得很小的置信区间和很大的置信度。但鱼与熊掌不可兼得，只好固定一个，力求另一个更好。如果固定置信度在某个值，比如 95% ，那么样本量越大，置信区间就越小。如果固定置信区间的宽度，那么样本量越大，置信度就越大。人们可以从需要的置信区间的宽度和置信度求出需要多大的样本量。 数据挖掘研究院
当然，要指明的是，在固定置信度时，置信区间宽度的减少并不是和样本量 n 成反比，而是和 
成反比，也就是说当样本量增加一倍（即 2 n ）时，置信区间的宽度为原先的 
。 数据挖掘研究院
第二节 总体参数的假设检验
一、假设检验的基本问题
1 ．假设检验的基本原理 数据挖掘研究院
小概率事件原理 数据挖掘实验室
2 ．假设检验的过程
首先，要提出一个原假设 数据挖掘研究院
例如：要对妇女的平均身高进行检验，可以先假设妇女身高的均值等于 160 cm （ 
）。这种原假设也称为零假设（ null hypothesis ），记为 H 0 。
与此同时必须提出对立假设，如妇女身高均值不等于 160 cm （ 
）。对立假设又称为备选假设或备择假设（ alternative hypothesis ）记为 H 1 。 数据挖掘研究院
形式上，上面的关于总体均值的 H 0 相对于 H 1 的检验记为： 数据挖掘实验室
我们将 
的假设称为双尾检验 ，即前面说述的假设检验。 数据挖掘实验室
如果备选假设为： 数据挖掘研究院
或：
则称为单尾检验。
实际中选择何种备选假设，需根据检验的需要决定。 数据挖掘研究院
需要注意的是：计算机输出结果中的 p 值是双尾检验的概率。 数据挖掘研究院
如果备选假设选择的是单尾检验，则要将计算机给的 p 值除以 2 ，即取 p 值的一半。 数据挖掘研究院
第二，确定检验统计量
有了两个假设，就要根据数据来对它们进行判断。 数据挖掘实验室
根据零假设（不是备选假设！）来判断：如果是检验均值的，那么一般是在正态总体分布的背景下检验的。 数据挖掘实验室
如果是检验比例的，那么就要用到非参数检验。
第三，确定显著性水平 数据挖掘研究院
根据样本所得的数据来拒绝零假设的概率应小于 0.05 ，当然也可能是 0.01 ， 0.005 ， 0.001 等等。 数据挖掘实验室
显著性水平就是小概率水平，但小概率并不能说明不会发生，仅仅是发生的概率很小罢了。拒绝正确零假设的错误常被称为第一类错误（ type I error ）。 数据挖掘研究院
有第一类错误，就有第二类错误； 数据挖掘研究院
那是备选假设正确时反而说零假设正确的错误，称为第二类错误（ type II error ）。
在一般的假设检验问题中，由于备选假设往往不是一个点，所以无法算出犯第二类错误的概率。 数据挖掘研究院
第四，计算检验统计量的值 数据挖掘研究院
根据数据计算检验统计量的实现值（ t- 值）和根据这个实现值计算 p- 值； 数据挖掘实验室
这一步一般都可由计算机软件来完成。
第五，进行判断
如果 p - 值小于或等于 α ，就拒绝零假设，这时犯错误的概率最多为 α ；如果 p - 值大于 α ，就不拒绝零假设，因为证据不足。
实际上，多数计算机软件仅仅给出 p - 值，而不给出 α 。这有很多方便之处。比如 α= 0.05 ，而假定所得到的 p - 值等于 0.001 。这时如果采用 p - 值作为新的显著性水平，即新的 α= 0.001 ；于是就可以说，在显著性水平为 0.001 时，拒绝零假设。这样，拒绝零假设时犯错误的概率实际只是千分之一而不是旧的 α 所表明的百分之五。
在这个意义上， p - 值又称为观测的显著性水平（ observed significant level ）。在统计软件输出 p - 值的位置，有的用 “ p-value ” ，有的用 significant 的缩写 “Sig” 就是这个道理。 数据挖掘研究院
根据数据产生的 p - 值来减少 α 的值以展示结果的精确性总是没有害处的。
这好比一个身高 180 厘米 的男生，可能愿意被认为高于或等于 180 厘米 ，而不愿意说他高于或等于 155 厘米 ，虽然这第二种说法数学上没有丝毫错误。
3 ．关于 “ 临界值 ” 的注：
过去的统计教科书中，使用临界值的概念进行假设检验，不计算 p - 值。只比较统计量的取值和临界值的大小。使用临界值而不是 p - 值来判断拒绝与否是前计算机时代的产物。当时计算 p - 值不易，只采用临界值的概念。现在计算机软件都不给出 α 和临界值，但都给出 p - 值和统计量的实现值，让用户自己决定显著性水平是多少。
在一些基本统计教科书中会有不能拒绝零假设就 “ 接受零假设 ” 的说法。这种说法是不对的。 数据挖掘研究院
首先，如果你说 “ 接受零假设 ” ，那么就应该负责任地提供接受零假设时可能犯第二类错误的概率。这就要算出在备选假设正确的情况下错误接受零假设的概率。但是，这只有在备选假设仅仅是一个与零假设不同的确定值（而不是范围）时才有可能。多数基本统计教科书的备选假设是一个范围，这时根本无法确定犯第二类错误的概率。其实，不能拒绝这些零假设，仅仅是说明对于这些假设，没有足够证据拒绝而已。
对于同一个假设检验问题，往往都有多个检验统计量；而且人们还在构造更优良的检验统计量。人们不可能把所有的目前存在的和将来可能存在的检验都实施。因此，只能够说，按照目前的证据，不足以拒绝零假设而已。 数据挖掘研究院
显然，在确定要检验什么之后只要计算出 p - 值就大功告成了。下面具体说明对一些特定总体的关于均值和比例的检验。
二、正态总体均值的检验
1 ．正态总体均值检验的类型
正态总体均值的检验主要有以下三种类型： 数据挖掘实验室
根据一个样本对其总体均值大小进行检验（ One-Sample T Test ），如妇女身高的检验。 数据挖掘实验室
根据来自两个总体的独立样本对其总体均值的检验（ Indepent Two-Sample T Test ），如两个班平均成绩的检验。
成对样本的检验（ Pari-Sample T Test ），如减肥效果的检验。 数据挖掘研究院
